矩阵快速幂详解

快速幂

利用二进制的方式来进行实现

$2^0 = 2^0$

$2^1 = 2^1$

$2^2 = 2^2$

$2^3 = 2^2 * 2$

$2^4 = 2^4$

$2^5 = 2^4 * 2$

$2^6 = 2^4 * 2^2$

$2^7 = 2^4 * 2^2 * 2$

所以我们可以看出来的是

二进制位上我们现在只有当某一位是１的时候才乘

举个例子

$2^{7} =2^{(111) _ 2} = 2^{(100) _ 2} * 2^{(10) _ 2} * 2^{(1) _ 2} = 2^8 * 2^4 * 2^2 * 2^1$

$2^{10} = 2 ^ {(1010) _ 2} = 2^{(1000) _ 2} * 2^{(10) _ 2} = 2^8 * 2^2$

所以原来$O(b)$复杂度一下降低到了$O(logb)$

Sample Code

inline int pow(int a,int b)
{
    int r=1,base=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) r*=base;//如果当前位是1，那么直接相乘
        base*=base;//不管是什么数字下一位都需要再乘一次(2的倍数)
        b>>=1;//移到下一位
    }
    return r;//返回结果
}

矩阵乘法

定义矩阵乘法的运算方式是:

$c _ {ij} = \quad\sum _ {k=1}^na _ {ik} *b _ {kj}$

举个例子

$\begin{pmatrix} {a _ 1} & {a _ 2} & {a _ 3} \\ {b _ 1} & {b _ 2} & {b _ 3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {c _ 1} \\ {c _ 2} \\ {c _ 3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a _ 1}{c _ 1} + {a _ 2}{c _ 2} + {a _ 3}{c _ 3} \\ {b _ 1}{c _ 1} + {b _ 2}{c _ 2} + {b _ 3}{c _ 3} \end{pmatrix}$

$\therefore \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 * 7 + 2 * 8 + 3 * 9 \\ 4 * 7 + 5 * 8 + 6 * 9 \end{pmatrix}$

$\therefore \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 122 \end{pmatrix}$

Sample Code

int n;//矩阵大小

void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }//简单定义 += 

struct Matrix
{
    int a[n][n];//矩阵
    friend Matrix operator *(const Matrix x, const Matrix y)//定义矩阵类型的乘法
    {
        Matrix c;//定义新的矩阵用来存储结果
        memset(c.a, 0, sizeof(c.a));//初始化
        for(int i = 0; i < n;i ++)//进行枚举
            for(int j = 0; j < n;j ++)
                for(int k = 0; k < n;k ++)
                    Up(c.a[i][j], x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod);//相乘 
        return c;//返回答案矩阵
    }
};

如何利用矩阵乘法计算

在计算递推式的时候，我们可以把递推式构建成矩阵乘法的样子

比如形如下列递推式的递推式:

$f(n) = a * f(n - 1) + b * f(n - 2)$

我们可以考虑构造成:

$\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(n - 1) \\ f(n - 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}$

然后就有:

$\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(n - 1) \\ f(n - 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}$

$\because \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(n - 2) \\ f(n - 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n - 1) \\ f(n - 2) \end{pmatrix}$

$\therefore \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 \begin{pmatrix} f(n - 2) \\ f(n - 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^3 \begin{pmatrix} f(n - 3) \\ f(n - 4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} f(1) \\ f(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}$

然后构造起来的道理是这样，但是真正的矩阵是什么样子的还得自己知道怎么推然后再去做

假如给你一个形如$f(n) = a * f(n - 1) + b * f(n - 2) + c * f(n - 3)$你要是不会推还是会GG的

然后因为有的时候$dp$的递推式也可以用矩阵来加速，所以用处很大

矩阵乘法快速幂

前一部分的模板

Sample Code

void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }//简单定义+=

struct Matrix
{
    int a[n][n];
    friend Matrix operator *(const Matrix x, const Matrix y)//定义矩阵乘法
    {
        Matrix c;
        memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
        for(int i = 0; i < n; i ++)
            for(int j = 0; j < n; j ++)
                for(int k = 0; k < n; k ++)
                    Up(c.a[i][j], x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod); 
        return c;
    }
};

Matrix Qpow(Matrix x, int timer)//矩阵快速幂
{
    Matrix base;//定义结果矩阵
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        for(int j = 0; j < n; j ++)
            base.a[i][j] = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++) base.a[i][i] = 1;
    for(; timer; timer >>= 1, x = x * x)
        if(timer & 1) base = base * x;
    return base;
}

PROB

• Luogu P1962 斐波那契数列